调和平均

其实我一直挺好奇很多数学名词的来源。今天偶然认真了一下去查了调和平均的词源,结果大大出乎我意料之外。

这篇文章说了这样一个故事。古希腊人非常喜欢平均数,而他们定义平均的方式和我们现在不同。他们似乎更喜欢以方程而不是定义式的形式定义平均。例如,我们现在说c=(a+b)/2,把c叫a和b的算术平均数。而古希腊人这样说:如果有这么一个数c,使得a比c多的部分与c比b多的部分相等(即a-c=c-b),那么c就叫做a和b的算术平均数。调和平均(Harmonic mean)最初发现的时候叫Subcontrary mean,它的定义是这样的:如果一个数c,使得a比c多的数占a的比例,与c比b多的数占b的比例一样多(即(a-c)/a=(c-b)/b),就把c叫a和b的Subcontrary mean。话说希腊人爱弹琴,他们通过控制弦的长度来控制音高。弹琴过程中,和声有和谐与不和谐之说,有时两个音同时奏出时听起来浑然一体,而有时则相互冲突。希腊人发现,当一根弦长度是另一根两倍的时候,这两根弦同时奏出的和音特别和谐。这两个音的音程在现代我们叫做一个纯八度。但是后来有人发现一件更有意思的事,如果说有一根弦的长度恰好等于这两根弦的长度的Subcontrary mean时,三者的和声听起来依旧和谐。这是一个很重要的发现,通过这样一种计算方式,只要拥有听起来和谐的两个音,希腊人便可以推出第三个与这两者都和谐的音。反复相求,和音无穷匮也。希腊人觉得这是好的,于是把Subcontrary mean改名为调和平均Harmonic mean,取其琴瑟和谐之意。

当然,现在我们知道,弦的振动频率在其他条件一定的情况下,与弦长成反比。而纯五度音的频率正好是根音的3/2倍,那么弹出纯五度音的弦长就是根音的2/3,这个长度正好是根音和八度音的弦长的调和平均数。同样的方式还可以得出纯四度音。

调和平均还在其他有意思的地方出现,例如计算平均速度时,假如往返两地路程一定,去时速度为v1,回时速度为v2,那么来回两地的平均速度为v1和v2的调和平均。又例如两面竖直墙之间放两架梯子,一架长度为a,另一架为b,那么两架梯子的交点到地面的距离为a和b的调和平均。

至于我为什么忽然突发奇想去查这个东西,是因为最近在上coursera的机器学习课,里头提到同时考虑第一类错误率和第二类错误率综合比较学习算法好坏的f1 factor,它就是两个错误率的调和平均。

TurtleIzzy

2012/10/8

2012-10-08 16:10336